BAB LINGKARAN DAN TURUNAN

MATERI TURUNAN

2. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL

Pada ringkasan materi limit dan kontinuitas dijelaskan bahwa gradien garis singgung adalah turunan pertama dari sebuah fungsinya.

Jika garis ll menyinggung kurva f(x)f(x) di titik dengan absis aa maka gradiennya m=f'(a)m=f'(a)

Sedangkan persamaan garis yang melalui (x1,y1)(x1,y1) dan bergradien mm adalah

y−y1=m(x−x1)y-y1=mx-x1

Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung dan melalui titik singgungnya.

Dua garis saling tegak lurus maka m1.m2=−1m1.m2=-1 , jika saling sejajar maka m1=m2m1=m2 .

Karena garis normal tegak lurus dengan garis singgung , maka :

mn×ms=−1mn×ms=-1 atau mn=−1msmn=-1ms

msms   gradient garis singgung, dan mnmn gradient garis normal

Perhatikan contoh di bawah ini :

1. Mencari gradient garis singgung pada kurva y=x3y=x3 di titik (3,27)3,27

Solusinya :

Gradien adalah turunan pertama dari kurvanya

m=y'm=y' →→ m=3x2m=3x2  

substitusikan nilai x=3x=3 , diambil dari absis titik singgungnya (3,27)3,27

m=3(3)2m=332

=27=27

2. Mencari persamaan garis singgung pada kurva y=x2y=x2 di titik yang berabsis 55

Solusinya :

Untuk mencari persamaan garis singgung dalam hal ini yang dibutuuhkan gradient mm dan titiknya (x,y)x,y .

Untuk sementara yang diketahui baru titiknya (5,y)5,y

Kita lengkapi terlebih dahulu titik singgungnya

x=5x=5 →→ y=52=25y=52=25   Jadi titik singgungnya (5,25)5,25

Kemudian kita cari gradient garis singgungnya :

m=y'm=y' →→ m=2xm=2x

=2(5)=25   ambil nilai xx di (5,25)5,25 →→ x=5x=5

=10=10

Langkah terakhir kita cari persamaan garis singgungnya yang melalui (5,25)5,25 dan bergradien m=10m=10

y−y1=m(x−x1)y-y1=mx-x1 →→ y−25=10(x−5)y-25=10x-5

y=10x−25

Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Ada beberapa konsep yang digunakan untuk membuktikan rumus-rumus persamaan garis singgung lingkaran, diantaranya :

·         Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r adalah(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2

·         Gradien garism=ΔyΔxm=ΔyΔx

·         Misalkan g adalah garis singgung lingkaran dan r adalah ruas garis yang melalui pusat dan titik singgung lingkaran, makag⊥rg⊥r

·         Garis g tegak lurus terhadap r makamg⋅mr=−1mg⋅mr=−1

·         Persamaan garis yang melalui titik (x₁, y₁) dengan gradien m adalahy−y1=m(x−x1)y−y1=m(x−x1)

Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan melalui titik (x₁, y₁) adalahx1x+y1y=r2x1x+y1y=r2

Bukti :

Persamaan lingkaran di atas adalah
x² + y² = r²  ....... (1)

Gradien dari r adalah
m_r = yxyx

Karena g⊥rg⊥r, maka
m_g . m_r = −1
m_g . yxyx = −1
m_g = −xy−xy

Garis singgung g melalui titik (x₁, y₁) dengan gradien m_g, maka
y − y₁ = m_g(x − x₁)
y − y₁ = −xy−xy(x − x₁)
y(y − y₁) = −x(x − x₁)
y² − y₁ y =  −x² + x₁ x
x₁ x + y₁ y = x² + y²

Substitusi persamaan (1) pada ruas kanan persamaan diatas diperoleh
x₁ x + y₁ y = r²
Terbukti !!!

Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (a, b) dan melalui titik (x₁, y₁) adalah(x1−a)(x−a)+(y1−b)(y−b)=r2(x1−a)(x−a)+(y1−b)(y−b)=r2

Bukti :

Persamaan lingkaran di atas adalah :
(x − a)² + (y − b)² = r²

Karena (x₁, y₁) terletak pada lingkaran maka
(x₁ − a)² + (y₁ − b)² = r²  ......... (1)

Gradien dari r adalah
m_r = y1−bx1−ay1−bx1−a

Karena g⊥rg⊥r, maka
m_g . m_r = −1
m_g . y1−bx1−ay1−bx1−a = −1
m_g = −x1−ay1−b−x1−ay1−b

Garis singgung g melalui titik (x₁, y₁) dengan gradien m_g, maka
y − y₁ = m_g(x − x₁)
y − y₁ = −x1−ay1−b−x1−ay1−b(x − x₁)
⇔ (y₁ − b)(y − y₁) = −(x₁ − a)(x − x₁)
⇔ (y₁ − b){(y − b) − (y₁ − b)} = −(x₁ − a){(x − a) − (x₁ − a)}
⇔ (y₁ − b)(y − b) − (y₁ − b)² = −(x₁ − a)(x − a) + (x₁ − a)²
⇔ (x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = (x₁ − a)² + (y₁ − b)²

Substitusi persamaan (1) pada ruas kanan persamaan diatas diperoleh
(x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²
Terbukti !!!

Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan bergradien m adalahy=mx±r√1+m2y=mx±r1+m2

Bukti :
Persamaan lingkaran
x² + y² = r²  .................. (1)

Misalkan persamaan garis singgung
y = mx + n  ....................(2)

Dari persamaan (1) dan (2)
x² + y² = r²
x² + (mx + n)² = r²
x² + m²x² + 2mnx + c² − r² = 0
(1 + m²)x² + 2mnx + c² − r² = 0

Karena garis menyinggung lingkaran, maka secara aljabar berlaku
D = 0
b² − 4ac = 0
b² = 4ac
(2mn)² = 4.(1 + m²).(n² − r²)
4m²n² = 4(n² − r² + m²n² − m²r²)
m²n² = n² − r² + m²n² − m²r²
n² = r² + m²r²
n² = r² (1 + m²)
n = ± r√1+m21+m2

Substitusi n ke persamaan (2) diperoleh
y = mx ± r√1+m21+m2
Terbukti !!!

Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (a, b) dan bergradien m adalahy−b=m(x−a)±r√1+m2y−b=m(x−a)±r1+m2

Bukti :
Persamaan diatas dapat dibuktikan dengan cara dan langkah-langkah yang sama dengan pembuktian sebelumnya. Namun untuk pembuktian kali ini kita akan mencoba dengan cara yang sedikit berbeda, yaitu pada persamaan garis yang digunakan.

Persamaan lingkaran
(x − a)² + (y − b)² = r²  .................. (1)

Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa :
Garis p melalui titik (a, b) dengan gradien m sehingga
y − b = m(x − a)

Garis g diperoleh dengan menggeser garis p tanpa merubah gradiennya, sehingga garis g dapat dinyatakan sebagai berikut
y − b = m(x − a) + n  ........................(2)

Langkah selanjutnya adalah menentukan n sehingga garis g menyinggung lingkaran.

Dari persamaan (1) dan (2)
(x − a)² + (y − b)² = r²
(x − a)² + (m(x − a) + n)² = r²
(x − a)² + m²(x − a)² + 2mn(x − a) + n² = r²
(1 + m²)(x − a)² + 2mn(x − a) + n² − r² = 0

Misalkan p = x − a, maka
(1 + m²)p² + 2mnp + n² − r² = 0

Agar garis g menyinggung lingkaran maka haruslah diskriminan PK diatas bernilai nol
D = 0
b² − 4ac = 0
b² = 4ac
(2mn)² = 4.(1 + m²).(n² − r²)
4m²n² = 4(n² − r² + m²n² − m²r²)
m²n² = n² − r² + m²n² − m²r²
n² = r² + m²r²
n² = r² (1 + m²)
n = ± r√1+m21+m2

Substitusi n ke persamaan (2) diperoleh
y − b = m(x − a) ± r√1+m21+m2
Terbukti !!!

Pembahasan Soal Turunan UN SMA (2)

32 Votes

1. Jika f(x) = (2x – 1)² (x + 2), maka f‘(x) = …
   
   

A. 4(2x – 1)(x + 3)

B. 2(2x – 1)(5x + 6)

C. (2x – 1)(6x + 5)

D. (2x – 1)(6x + 11)

E. (2x – 1)(6x + 7)

PEMBAHASAN :

INGAT : f(x) = u.v

f'(x) = u’v + uv’

misal : u(x) = (2x – 1)²  u'(x) = 2(2x – 1)(2)

v(x) = x + 2  v'(x) = 1

f'(x) = (4(2x – 1))(x + 2) + ((2x – 1)²)(1)

= (8x – 4)(x + 2) + (2x – 1)²

= 8x² + 12x – 8 + 4x² – 4x + 1

= 12x² + 8x – 7

= (2x – 1)(6x + 7)

JAWABAN : E

2. Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = adalah f ‘(x), maka f‘(x) = …
   
   

A. 

B. 

C. 

D. 

E. 

PEMBAHASAN :

= 

= 

= 

= 

JAWABAN : A

3. Diketahui f(x) = , Jika f‘(x) adalah turunan pertama dari f(x), maka nilai f‘(2) = …
   
   

A. 0,1

B. 1,6

C. 2,5

D. 5,0

E. 7,0

PEMBAHASAN :

f(x) = 

= (4x²+9)^1/2

f'(x) = 1/2 (4x²+9)^-1/2 (8x)

= 4x (4x²+9)^-1/2

= 

f'(2) = 

= 

= 1.6

JAWABAN : B

4. Diketahui f(x) = . Nilai f‘(4) = …
   
   

A. 1/3

B. 3/7

C. 3/5

D. 1

E. 4

PEMBAHASAN :

f(x) = 

f'(x) = 

misal : u(x) = 2x + 4  u'(x) = 2

v(x) = 1 +   v'(x) = 1/2 x^-1/2

f'(x) = 

f'(4) = 

= 

= 

= 

=  = 

JAWABAN :

5. Persamaan garis singgung pada kurva y = –2x² + 6x + 7 yang tegak lurus garis x – 2y + 13 = 0 adalah …
   
   

A. 2x + y + 15 = 0

B. 2x + y – 15 = 0

C. 2x – y – 15 = 0

D. 4x – 2y + 29 = 0

E. 4x + 2y + 29 = 0

PEMBAHASAN :

m₁ = y'(x) = -4x + 6

x – 2y + 13 = 0

x + 13 = 2y

1/2 x + 13/2 = y

m₂ = 1/2

karena garis singgung ini tegak lurus dengan garis “x – 2y + 13 = 0” maka :

m₁.m₂ = -1

m₁(1/2) = -1

m₁ = -2

-4x + 6 = -2

8 = 4x

2 = x

Substitusi nilai “x = 2” ke persamaan kurva “y = –2x² + 6x + 7″ sehingga diperoleh :

y(2) = –2(2)² + 6(2) + 7

= -8 + 12 + 7

= 11

Persamaan Umum Garis Singgung : (y – y₁) = m(x – x₁)

(y – 11) = -2(x – 2)

(y – 11) = -2x + 4

y + 2x – 15 = 0

JAWABAN : B

6. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432 cm². Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persegi adalah … cm.
   
   

A. 6

B. 8

C. 10

D. 12

E. 16

PEMBAHASAN :

misal kita anggap tinggi kotak adalah t dan panjang sisi alas adalah s.

Luas kotak tanpa tutup = Luas alas (persegi) + (4 x luas sisi)

432 = s² + (4.s.t)

432 = s² + 4ts

Karena yang diminta dalam soal adalah panjang sisi persegi, maka kita buat persamaan dalam variable s.

432 – s² = 4ts

108/s – s/4 = t

Volume = v(x) = s²t

= s²(108/s – s/4)

= 108s – s³/4

Agar volume kotak maksimum maka :

v'(x) = 0

108 – 3s²/4 = 0

108 = 3s²/4

144 = s²

12 = s

JAWABAN : D

7. Garis singgung pada kurva y = x² – 4x + 3 di titik (1, 0) adalah …
   
   

A. y = x – 1

B. y = –x + 1

C. y = 2x – 2

D. y = –2x + 1

E. y = 3x – 3

PEMBAHASAN :

m = y’ = 2x – 4

substitusi nilai “x = 1”

m = 2(1) – 4

= -2

Persamaan umum garis singgung : (y – y₁) = m(x – x₁)

(y – 0) = -2(x – 1)

y = -2x + 2

JAWABAN :

8. Grafik fungsi f(x) = x³ + ax² + bx + c hanya turun pada interval –1 < x < 5. Nilai a + b = …
   
   

A. – 21

B. – 9

C. 9

D. 21

E. 24

PEMBAHASAN :

f'(x) < 0

3x² + 2ax + b < 0

Karena turun pada interval –1 < x < 5, itu artinya HP dari f'(x) adalah x₁ = -1 atau x₂ = 5. Jadi

f'(x) = (x + 1)(x – 5)

= x² – 4x – 5

3x² + 2ax + b = 3(x² – 4x – 5)

3x² + 2ax + b = 3x² – 12x – 15

2a = -12  a = -6

b = -15

a + b = -6 + (-15) = -21

JAWABAN : A

9.      Jika f(x) = , maka 

A. 

B. 

C. 

D. 

E. 

PEMBAHASAN :

= 

= 

INGAT : 

JAWABAN : D

10. Turunan pertama fungsi f(x) = (6x – 3)³ (2x – 1) adalah f‘(x). Nilai dari f‘(1) = …
    
    

A. 18

B. 24

C. 54

D. 162

E. 216

PEMBAHASAN :

misal : u(x) = (6x – 3)³  u'(x) = 3(6x – 3)²(6)

v(x) = (2x – 1)  v'(x) = 2

f'(x) = u’v + uv’

= (3(6x – 3)²(6))(2x – 1) + (6x – 3)³(2)

= 18(6x – 3)²(2x – 1) + (6x – 3)³(2)

f'(1) = 18(6(1) – 3)²(2(1) – 1) + (6(1) – 3)³(2)

= 18(3)²(1) + (3)³(2)

= 18(9) + (27)(2)

= 162 + 54

= 216

JAWABAN : E

11.  Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f‘(x) = …

A. 6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)

B. 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)

C. –2 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x)

D. –6 sin² (3 – 2x) cos (6 – 4x)

E. –3 sin² (3 – 2x) sin (6 – 4x)

PEMBAHASAN :

f(x) = sin³ (3 – 2x)

f'(x) = 3 sin² (3 – 2x).cos (3 – 2x).(-2)

= -3 sin (3 – 2x) (2 sin (3 – 2x) cos (3 – 2x))

= -3 sin (3 – 2x) sin (2(3 -2x))

= -3 sin (3 – 2x) sin (6 – 4x)

JAWABAN :

12. Sebuah tabung tanpa tutup bervolume 512 cm³. Luas tabung akan minimum jika jari – jari tabung adalah … cm.
    
    

A. 

B. 

C. 

D. 

E. 

PEMBAHASAN :

misal kita anggap tinggi tabung adalah t dan jari-jarinya adalah r.

Volume = Luas alas x tinggi

512 = r²t

512/r² = t

Karena yang diminta dalam soal adalah jari-jari lingkaran, maka kita buat persamaan dalam variable r.

Luas tabung tanpa tutup = Luas alas + luas selimut

= Luas alas + (keliling lingkaran x t)

= 

V(x) = 

= 

Agar volume kotak maksimum maka :

V'(x) = 0

= 

= 

r = 

JAWABAN :

13. Garis l tegak lurus dengan garis x + 3y + 12 = 0 dan menyinggung kurva y = x² – x – 6. Ordinat titik singgung garis l pada kurva tersebut adalah …
    
    

A. – 12

B. – 4

C. – 2

D. 2

E. 4

PEMBAHASAN :

misal garis l = ax + by + c = 0 (gradiennya = m₁)

x + 3y + 12 = 0

3y = -x – 12

y = (-x – 12)/3

jadi gradiennya adalah m₂ = -1/3

karena garis l tegak lurus dengan persamaan x + 3y + 12 = 0 maka

m₁.m₂ = -1

m₁(-1/3) = -1

m₁ = 3

y(x) = x² – x – 6

m₁ = y'(x) = 2x – 1

3 = 2x – 1

4 = 2x

2 = x

Untuk mencari nilai ordinatnya, substitusi nilai “x = 2” ke persamaan kurva sehingga :

y(2) = (2)² – 2 – 6

= 4 – 2 – 6

= -4

JAWABAN : B

14. Persamaan garis singgung kurva  di titik pada kurva dengan absis 2 adalah …
    
    

A. y = 3x – 2

B. y = 3x + 2

C. y = 3x – 1

D. y = –3x + 2

E. y = –3x + 1

PEMBAHASAN :

y(x) =  = (2x³)^1/2 = (2^1/2)(x^3/2)

m = y'(x) = (2^1/2)(3/2x^1/2)

m = (2^1/2)((3/2)(2)^1/2)

= 2(3/2)

= 3

Untuk memperoleh y₁ maka kita substitusi nilai absis (x₁ = 2) ke persamaan di soal sehingga diperoleh y₁ =  = 4

Persamaan Umum Garis Singgung : (y – y₁) = m(x – x₁)

(y – 4) = 3 (x – 2)

(y – 4) = 3x – 6

y = 3x – 2

JAWABAN : A

15. Fungsi y = 4x³ – 6x² + 2 naik pada interval …
    
    

A. x < 0 atau x > 1

B. x > 1

C. x < 1

D. x < 0

E. 0 < x < 1

PEMBAHASAN :

y'(x) > 0

12x² – 12x > 0

12x(x – 1) > 0

x = 0 atau x = 1

berdasarkan garis bilangan, maka HP nya adalah x < 0 atau x > 1

JAWABAN : A

16. Nilai maksimum fungsi f(x) = x³ + 3x² – 9x dalam interval adalah …
    
    

A. 25

B. 27

C. 29

D. 31

E. 33

PEMBAHASAN :

NOTE : untuk mencari nilai maksimum atau minimum, kita harus mencari titik extrimnya (f'(x) = 0) dan mensubstitusi titik ekstrim dan titik ujung-ujung interval ke persamaan fungsinya.

f'(x) = 0

3x² + 6x – 9 = 0

3(x² + 2x – 3) = 0

3(x + 3)(x – 1) = 0

x = -3 atau x = 1

Substitusi nilai x ke persamaan fungsi :

untuk x = -3

f(-3) = (-3)³ + 3(-3)² – 9(-3)

= -27 + 27 + 27

= 27 (maksimum)

untuk x = 1

f(x) = (1)³ + 3(1)² – 9(1)

= 1 + 3 – 9

= -5

untuk x = 2

f(x) = (2)³ + 3(2)² – 9(2)

= 8 + 12 – 18

= 2

JAWABAN : B

Nomor 1

Soal: Sebuah tempat air berbentuk kerucut terbalik dengan jari-jari alas 60 cm dan tinggi 100 cm diisi dengan laju 25 cm^3/detik

a.  Tentukan laju perubahan tinggi air pada saat tingginya  25 cm !

b.  Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mengisi tempat tersebut hingga penuh?

Jawab a :

Misalkan:
 r adalah jari-jari permukaan air,
h adalah ketinggian air, dan
V adalah volume air dalam kerucut
Sehingga diperoleh :

V = (1/3).π.r^2.h

Hubungan antara r dan h diberikan oleh:

(60/100) = (r/h)

             r = (60h/100) <=> r = (3h/5)

Dengan demikian :

V = (1/3) . π . (3h/5)^2 . h = (9/25) . π . h^3

Sehingga :

dV       9                     dh

----- =  ---- (π . h^2)  ------

dt        25                   dt

dh        25       dV/dt

---- = ------  --------------

dt         9       π 25^2

Pada saat h = 25 cm diperoleh :

(dh/dt) = (25/9) . (25/(π . 25^2)) = (1/9π) cm/detik

Jawab b :

Waktu yang dibutuhkan untuk mengisi tempat tersebut hingga penuh :

         volume kerucut            (1/3) . π . 60^2 . 100

dt = ----------------------- = ----------------------------  = 4800π detik = 800π menit

         laju pengisian                         25     

Nomor 2

Soal: Seseorang mengisi sebuah tabung berdiameter 10 cm dan tinggi 8 cm dengan laju tetap 30 cm^3/detik. Tanpa disadari, tabung yang dia gunakan bocor,  sehingga air keluar dari tabung dengan laju tetap 5 cm^3/detik

a.  Hitunglah laju bertambahnya ketinggian permukaan air di tabung pada saat ketinggian air 4 cm!

b.  Berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mengisi tabung tersebut dari keadaan kosong hingga penuh? 

Diketahui diameter tabung 10 cm sehingga jari-jari alas tabung adalah 5 cm

Jawab a:

Misalkah
h adalah tinggi permukaan air di dalam tabung [dalam cm]
V adalah volume air dalam tabung [dalam cm^3]

Laju yang diketahui:
dV/dt = (30-5) = 25 cm^3/detik

V = π . 5^2 . h = 25πh (karena r = 5 konstan)
dV/dt = 25π (dh/dt)
Sehingga pada saat h = 4 cm berlaku:
25 = 25π (dh/dt) <==> dh/dt = 1/π cm/detik

Jawab b:
Diketahui tinggi tabung adalah 8 cm dan laju naiknya tinggi permukaan air adalah 1/π cm/detik, sehingga agar tabung penuh diperlukan waktu 8π detik

Nomor  3

Soal: Spongbob adalah makhluk laut yang berbentuk balok. Jika ada di daratan, Spongbob mampu minum [menyerap] air dengan laju 3 cm^3/detik. Bersamaan dengan itu, badannya membesar dengan bentuk dan perbandingan panjang, lebar dan tebalnya tetap. Jika diketahui ukuran panjang 2 cm,  lebar 2 cm dan tebalnya 1 cm. Maka tentukan laju perubahan luas tubuh Spongbob pada waktu tebal tubuhnya 2 cm.

Jawab:
Misalkan:
t : waktu dalam detik,
p(t) : panjang tubuh Spongbob pada waktu t,
l(t) : lebar tubuh Spongbob pada waktu t,
h(t) : tebal tubung Spongbob pada waktu t,
V(t) : volume air yang masuk ke dalam tubuh Spongbob pada saat t,
L(t) : luas permukaan tubuh Spongbob pada saat t,

Diketahui:
dV(t)/dt = 3 cm^3/detik
p(t) : l(t) : h(t) = 2 : 2 : 1  ===> p(t) = l(t) = 2h(t)
Ditanyakan : dL(t)/dt pada saat h = 2

Karena tubuh Spongbob berbentuk balok, maka:
V = plh = (2h)(2h)h = 4h^3
dV/dt = 12 . h^2 . dh/dt
    3     = 12. h^2 . dh/dt  ===> dh/dt = 1/4 h^2
Luas permukaan :
L = 2pl + 2hl + 2ph
    = 2(2h)(2h)  + 2h(2h) + 2(2h)h = 16 h^2
dL/dt = 32 dh/dt = 32h (1/4  h^2) = 8/h
Pada saat h = 2, dL/dt = 4 cm^2/detik

Nomor 4

Soal: Dua mahasiswa Sinta dan Jojo berdiri terpisah dengan Jojo berada 30 meter di sebelah timur Sinta. Sinta kemudian bersepeda ke utara dengan kecepatan 5 meter/detik dan 5 menit kemudian Jojo bersepeda ke selatan dengan kecepatan 3 meter/detik. Berapa jauh perubahan jarak antara keduanya 10 menit setelah Sinta mulai mengayuh sepeda?

Jawab:
Misalnya:
g(t) adalah jarak yang sudah ditempuh Sinta pada saat t,
k(t) adalah jarak yang sudah ditempuh Jojo pada saat t,
z(t) adalah jarak antara Sinta dan Jojo pada saat t,

Diketahui:
dg/dt = 5 meter/detik
dk/dt = 3 meter/detik
Yang ditanyakan: dz/dt pada saat Sinta sudah bersepeda selama 10 menit [atau selama Jojo bersepeda selama 10 - 5 = 5 menit]

Menurut Teotema Phytagoras, hubungan antara g, k dan z diberikan oleh:
z^2 = (g + k) ^2 + 30^2    <====>    2z dz/dt = 2(g + k) (dg/dt + dk/dt)
                                            <====>    dz/dt = (g + k)/z (dg/dt + dk/dt)
Jarak yang ditempuh Sinta setelah bersepeda selama 10 menit:
g = 5 . (10 . 60) = 3000 meter

Jarak yang ditempuh Jojo setelah bersepeda selama 5 menit:
k = 3 . (5 . 60) = 900 meter
Pada saat g = 3000 meter dan k = 900  meter,  diperoleh:
z = √( (g + k)^2 + 30^2 ) = √( (3000 + 900)^2 + 30^2 ) = 30√16901
Sehingga,
dz/dt = (g + k)/z (dg/dt +dk/dt)
          = (3000 + 900)/(30√16901) . (5 + 3) = 8 meter/detik

Nomor 5

Soal: Ketika sedang menyaksikan suatu pameran kedirgantaraan, Mr Rate melihat sebuah pesawat tempur (P)  melintas lurus di depannya dengan laju 500 km/jam. Jarak terdekat lintasan pesawat tersebut terhadap penonton  (Mr Rate, R)  adalah 0,5 km.
a.  Tentukan laju sudut pandang penonton pesawat dari garis lurus yang tegak lurus terhadap lintasan pesawat (θθ)  terhadap waktu t, yaitu dθθ/dt, sebagai fungsi dari θθ.
b.  Tentukan nilai maksimum dari dθθ/dt

.      Diketahui turunan pertama f(x) = f¹(x) = 8x - 3 dan nilai f(2) = 4.

Tentukan f(x) !

Penyelesaian :

f(x) =  ò f¹(x) dx

        = ò 8x - 3 dx

f(x) = 4x² - 3x + C

Menentukan nilai C

f(2) = 4.2² - 3.2 + C

    4  = 16 – 6 + C

    C  = - 6

Jadi, f(x) = 4x² – 3x – 6

2.      Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 4x, sumbu x, dan ordinat x = 5 !

Penyelesaian :

L =   ò f(x)

 = ₀ ò5 (4x)

 = 2x² ]₀⁵

 = (50) – (0)

 = 50 satuan luas.

3.      Sebuah pesawat udara mempunyai kapasitas tidak lebih dari 48 tempat duduk dan kemampuan bagasinya 1,44 ton. Untuk menjaga keselamatan pesawat, setiap penumpang kelas utama hanya boleh membawa bagasi 60 kg dan kelas ekonomi 20 kg. Jika harga tiket kelas utama Rp 600.000,00 dan kelas ekonomi Rp 400.000,00. Tentukan banyaknya masing masing penumpang pada setiap kelas agar sekali terbang memperoleh pendapatan maksimum!

Penyelesaian :

Misal	Kelas	Tempat Duduk	Bagasi
x	Utama	X	60 kg
y	Ekonomi	Y	20 kg
		48	1440 kg

            Jika HT utama             = Rp 600.000

                    HT ekonomi        = Rp 400.000

            Maka   : SPL

                          x + y              ≤ 48

                          60x + 20y      ≤ 1440

                                       x       ≥ 0

                                       y       ≥ 0

           

* x + y = 48    

x	0	48
y	48	0

* 60x + 20y = 1440

      3x +     y = 72

x	0	24
y	72	0

Titik A  = ( 24, 0 )

Titik C  = ( 0, 48 )

Titik B ?

Mencari titik B

x + y    = 48

3x + y  = 72

-2x       = -24

    x      = -24

                 -2

            = 12

  x + y  = 48

12 + y  = 48

        y  = 48 – 12

            = 36

FO: 600.000 x + 400.000 y

A (24, 0)          = 600.000 x 24 + 0                              = 14.400.000

B (12, 36)        = 600.000 x 12 + 400.000 x 36           = 21.600.000

C (0, 48)          = 0 + 400.000 x 48                              = 19.200.000

Jadi, pendapatan maksimumnya adalah Rp 21.600.000 dengan jumlah penumpang kelas utama 12 orang dan kels ekonomi 36 orang.

4.      Seorang pengembang merencanakan membangun rumah dengan dua tipe, tipe A uang muka 2 juta dan tipe B 1 juta, ia mengharapkan uang muka yang masuk paling sedikit 250 juta. Rumah yang akan dibangun paling sedikit 150 buah, biaya untuk tipe A 10 juta dan tipe B 7,5 juta. Tentukan biaya minimum yang dikeluarkan oleh pemborong tersebut!

Penyelesaian :

Misal	Rumah	UM	Jumlah
X	Tipe A	2 juta	x
Y	Tipe B	1 juta	y

250 juta

150 juta

SPL

2x + y  ≥ 250

  x + y  ≥ 150

        x  ≥ 0

        y  ≥ 0

FO : 10juta x + 7,5juta y

* 2x + y = 250

x	0	125
y	250	0

* x + y = 150

x	0	150
y	150	0

Titik A (125, 0)          

Titik B ?

Titik C ( 0,150)

Mencari titik B

2x + y = 250

  x + y              =150

                        = 100

x + y                = 150

x + 100            = 150

      x                = 150 – 100

      x                = 50

FO : 10juta x + 7,5juta y

A (125, 0)        = 125.10 + 0                            = 1250 juta

B ( 100, 50)     = 100.10 + 50.7,5                    = 1475 juta

C (0, 150)        = 0 + 150.7,5                           = 1125 juta

Jadi, biaya minimumnya adalah 1125 juta dengan membangun jenis tipe A sebanyak 0 dan tipe B sebanyak 150.

5.      Diketahui matriks A =  2   3

              1  -1

Tentukan 2A – A^T !

Penyelesaian    :

 2A = 2   2   3              A^T  =  2   1

                           1 -1             3  -1

                  =  4   6

           2 -2    

 2A – A^T =  4  6  _    2   1

                  2  -2        3  -1

               =   2  5

                   -1  1

6. Diketahui matriks – matriks berikut:

     A = ( 2 1 4 1) dan B = ( -3 2 1 -2 )

     Tentukan BA^T !

      Penyelesaian :

      BA^T = [ -3 2 1 -2]   2

                                     1

                                     4

              = [ -6 + 2 + 4 -2 ]

              = [ -2 ]

7.      Diketahui u =  1      dan v =    0

                      -2                       3

                        3                    - 1   

Tentukan u + v !

Penyelesaian :

u + v =    1          0        1

              -2    +    3   =   1

               3         -1         2       

8.      Tentukan sudut antara 2 vektor berikut: a = 2i – 5j + k dan b = i + j +3k !

Penyelesaian :

               a . b = X₁.X₂ + Y₁.Y₂ +Z₁.Z₂

 = 2.1 + (-5).1 + 1.3

 = 2 + (-5) + 3

 = -3 + 3

 = 0

Karena a.b = 0 maka sudutnya siku – siku.

9.      Diketahui lingkaran dengan persamaan: x² – y² + 4x – 6y – 12 = 0, tentukan persamaan bayangan lingkaran jika dicerminkan terhadap sumbu x!

Penyelesaian :

P (-2, 3)           P¹ (-2, -3)

Persamaan bayangan

(x + 2)² + (y + 3²) = 5²

x² + 4x + 4 + y² + 6y + 9 – 25 = 0

x² + y² + 4x + 6y – 12 = 0

10.  Diketahui segitiga ABC dengan A (3, 2), B (-2, -1), dan C (1, 3). Tentukan pencerminan terhadap garis x = -2 !

Penyelesaian:

A (3, 2)           A¹ (2.2 -3.2)

                             (1,2)

B (-2, -1)         B¹ ( +2, -1)

                             (6, 1)

C (1,3)            C¹ (4 -1, 3)

                             (3,3)

1.  

Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar dibawah ini. Agar luasnya maksimum panjang kerangka (p) tersebut adalah...

A. 16 m

B.  18 m

C.  20 m

D.  22 m

E.  24 m

Pembahasan :
Persamaan kerangka :
3p + 4l = 120
4l = 120 − 3p
l = 30 − 3434p

Persamaan luas :
L = p × 2l
L = p × 2 (30 − 3434p)

L = 60p − 3232p²

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
60 − 3p = 0
⇒ p = 20

Jadi, panjang kerangka agar luas maksimum adalah 20 m.

Jawaban : C

2.  
Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam dengan biaya per jam (4x−800+120x)(4x−800+120x) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu...
A.  40 jam
B.  60 jam
C.  100 jam
D.  120 jam
E.  150 jam

Pembahasan :
Biaya per jam : 4x − 800 + 120x120x
Biaya untuk x jam :
B(x) = (4x − 800 + 120x120x)x
B(x) = 4x² − 800x + 120

Biaya akan minimum jika :
B'(x) = 0
8x − 800 = 0
⇒ x = 100

Jadi, waktu yang diperlukan agar biaya minimum adalah 100 jam.

Jawaban : C


3.  
Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus x=f(t)=√3t+1x=f(t)=3t+1 (s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel pada saat t = 8 detik adalah...
A.  310310 m/detik
B.  3535 m/detik
C.  3232 m/detik

D.  3 m/detik
E.  5 m/detik

Pembahasan :
f(t) = √3t+13t+1
⇒ f '(t) = 32√3t+1323t+1

v(t) = dfdtdfdt
v(t) = f '(t) = 32√3t+1323t+1

v(8) = 32√3.8+1323.8+1
v(8) = 310310

Jadi, kecepatan partikel pada t = 8 adalah 310310 m/detik

Jawaban : A

4.  
Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal Vo m/detik. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi h(t)=100+40t−4t2h(t)=100+40t−4t2. Tinggi masksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah...
A.  160 m
B.  200 m
C.  340 m
D.  400 m
E.  800 m

Pembahasan :
h(t) = 100 + 40t − 4t²
⇒ h'(t) = 40 − 8t

Tinggi peluru akan maksimum, jika :
h'(t) = 0
40 − 8t = 0
⇒ t = 5

Jadi, tinggi maksimum peluru dicapai pada saat t = 5, dengan tinggi maksimumnya adalah
h(5) = 100 + 40(5) − 4(5)²
h(5) = 100 + 200 − 100
h(5) = 200

Jawaban : B


5.  
Suatu pekerjaan dapat diselesaikan  dalam x hari dengan biaya 4x−160+2000x4x−160+2000x ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah...
A.  Rp 200.000,00
B.  Rp 400.000,00
C.  Rp 560.000,00
D.  Rp 600.000,00
E.  Rp 800.000,00

Pembahasan :
Biaya per hari : (4x−160+2000x)(4x−160+2000x)

Biaya x hari :
B(x) = (4x−160+2000x)(4x−160+2000x)x
B(x) = 4x² − 160x + 2000

Biaya akan minimum jika :
B'(x) = 0
8x − 160 = 0
⇒ x = 20

Jadi, biaya akan minimum jika pekerjaan diselesaikan dalam 20 hari, dengan biaya minimum per hari
= 4x − 160 + 2000x2000x
= 4(20) − 160 + 200020200020
= 20  (ribuan rupiah)

Jawaban : -


6.   Luas permukaan balok dengan alas persegi adalah 150 cm². Agar diperoleh volume balok yang maksimum, panjang alas balok adalah...
A.  3 cm
B.  5 cm
C.  6 cm
D.  15 cm
E.  25 cm

Pembahasan :
Karena alas berbentuk persegi maka p = l

L = 150
2(pl + pt + lt) = 150
pl + pt + lt = 75
p² + pt + pt = 75  (p = l)
2pt = 75 − p²
t = 75−p22p75−p22p

V = p. l. t
V = p²t  (p = l)
V = p²(75−p22p)(75−p22p)
V = 752752p − 1212p³

Volume akan maksimum, jika :
V' = 0
752752 − 3232p² = 0
75 − 3p² = 0
⇒ p = 5

Jadi, volume akan maksimum jika panjang balok 5 cm.

Jawaban : B


7.  
Perhatikan gambar !

Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah...
A.  (2, 5)
B.  (2, 5252)
C.  (2, 2525)
D.  (5252, 2)
E.  (2525, 2)

Pembahasan :
Cara I
Persamaan garis yang memotong sumbu-x di (4, 0) dan memotong sumbu-y di (0, 5) adalah :
5x + 4y = 5 . 4
5x + 4y = 20

4y = 20 − 5x
y = 5 − 5454x

L = x . y
L = x(5−54x)(5−54x)
L = 5x − 5454x²

Luas akan maksimum, jika :
L' = 0
5 − 5252x = 0
⇒ x = 2

5x + 4y = 20
5(2) + 4y = 20
⇒ y = 5252

M = (2, 5252)

Cara II
Sebuah garis dengan
titik potong sumbu-x : (a, 0)
titik potong sumbu-y : (0, b)
M(x, y) terletak pada garis
|xy| akan maksimum jika M(a2,b2)(a2,b2)

a = 4 dan b = 5
M(a2,b2)(a2,b2)
M(2, 5252)

Jawaban : B


8.  
Sebuah kotak tanpa tutup dengan alasnya berbentuk persegi, mempunyai voleme 4 m² terbuat dari selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran panjang, lebar dan tinggi kotak berturut-turut adalah...
A.  2 m, 1 m, 2 m
B.  2 m, 2 m, 1 m
C.  1 m, 2 m, 2 m
D.  4 m, 1 m, 1 m
E.  1 m, 1 m, 4 m

Pembahasan :
Karena alas berbentuk persegi, maka p = l

Volume kotak :
V = p. l. t
V = p²t  (p = l)
4 = p²t
t = 4p24p2

Luas kotak tanpa tutup :
L = pl + 2pt + 2lt
L = p² + 2pt + 2pt  (p = l)
L = p² + 4pt
L = p² + 4p(4p2)(4p2)
L = p² + 16p16p

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
2p − 16p216p2 = 0
2p = 16p216p2
p³ = 8
⇒ p = 2
⇒ l = 2

t = 4p24p2 = 422422
⇒ t = 1

Jadi, ukuran panjang, lebar dan tinggi berturut-turut adalah 2 m, 2 m, 1 m.

Jawaban : B


9.  
Jumlah bilangan positif x dan y adalah 18. Nilai maksimum xy adalah...
A.  100
B.  81
C.  80
D.  70
E.  72

Pembahasan :
x + y = 18
y = 18 − x

Misalkan :
L = xy
L = x (18 − x)
L = 18x − x²

L akan maksimum jika :
L' = 0
18 − 2x = 0
⇒ x = 9

x + y = 18
9 + y = 18
⇒ y = 9

Jadi, nilai maksimum xy = 9 . 9 = 81

Jawaban : B


10.  
Seorang petani menyemprotkan obat pembasmi hama pada tanamannya. Reaksi obat tersebut t jam setelah disemprotkan dinyatakan dengan rumus f(t)=15t2−t3f(t)=15t2−t3. Reaksi maksimum tercapai setelah...
A.  3 jam
B.  5 jam
C.  10 jam
D.  15 jam
E.  30 jam

Pembahasan :
Fungsi reaksi :
f(t) = 15t² − t³

Reaksi akan maksimum jika :
f '(t) = 0
30t − 3t² = 0
3t (10 − t) = 0
t = 0 atau t = 10

Jadi, reaksi maksimum tercapai setelah 10 jam.

Jawaban : C 


11.  
Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x dm. Ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volume maksimum berturut-turut adalah...
A.  10 dm, 7 dm, 1 dm
B.  8 dm , 5 dm, 1 dm
C.  7 dm, 4 dm, 2 dm
D.  7 dm, 4 dm, 1 dm
E.  6 dm, 3 dm, 1 dm

Pembahasan :

Ukuran balok :

p = 8 − 2x
l = 5 − 2x
t = x

V = plt
V = (8 − 2x)(5 − 2x) x
V = (40 − 26x + 4x²) x
V = 4x³ − 26x² + 40x

Volume akan maksimum jika :
V' = 0
12x² − 52x + 40 = 0
3x² − 13x + 10 = 0
(3x − 10)(x − 1) = 0
x = 103103 atau x = 1

Untuk x = 1, maka
p = 8 − 2x = 8 − 2(1) = 6
l = 5 − 2x = 5 − 2(1) = 3
t = x = 1

Jadi, volume akan maksimum jika panjang, lebar dan tinggi balok berturut-turut 6 dm, 3 dm, 1 dm.

Jawaban : E


12.  
Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar (9.000+1.000x+10x2)(9.000+1.000x+10x2) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahan tersebut adalah...
A.  Rp149.000,00
B.  Rp249.000,00
C.  Rp391.000,00
D.  Rp609.000,00
E.  Rp757.000,00

Pembahasan ;
Biaya produksi x produk : 9.000 + 1.000x + 10x²
Biaya penjualan x produk : 5.000x

Laba = Biaya penjualan − Biaya produksi
L(x) = 5.000x − (9.000 + 1.000x + 10x²)
L(x) = 5.000x − 9.000 − 1.000x − 10x²
L(x) = −10x² + 4.000x − 9.000

Laba akan maksimum, jika :
L'(x) = 0
−20x + 4.000 = 0
⇒ x = 200

Jadi, laba akan maksimum jika perusahaan menghasilkan 200 produk, dengan laba maksimumnya adalah :
L(200) = −10(200)² + 4.000(200) − 9.000
L(200) = −400.000 + 800.000 − 9.000
L(200) = 391.000

Jawaban : C


13.  
Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya (5x2−10x+30)(5x2−10x+30) dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp 50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah...
A.  Rp10.000,00
B.  Rp20.000,00
C.  Rp30.000,00
D.  Rp40.000,00
E.  Rp50.000,00

Pembahasan :
Biaya produksi x unit : (5x² − 10x + 30)x
Biaya penjualan x unit : 50x
(kedua biaya diatas dalam ribuan rupiah)

Keuntungan = Biaya penjualan − Biaya produksi
U(x) = 50x − (5x² − 10x + 30)x
U(x) = 50x − 5x³ + 10x² − 30x
U(x) = −5x³ + 10x² + 20x

Keuntungan akan maksimum jika :
U'(x) = 0
−15x² + 20x + 20 = 0 (bagi −5)
3x² − 4x − 4 = 0
(3x + 2)(x − 2) = 0
x = 3232 atau x = 2

Jadi, keuntungan akan maksimum jika perusahaan memproduksi 2 unit barang, dengan keuntungan maksimumnya adalah :
U(2) = −5(2)³ + 10(2)² + 20(2)

U(2) = −40 + 40 + 40

U(2) = 40  (dalam ribuan rupiah)

Jawaban : D


14.  
Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling (2x+24)(2x+24) m dan lebar (8−x)(8−x). Agar luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah...
A.  4 m
B.  8 m
C.  10 m
D.  12 m
E.  13 m

Pembahasan :
K = 2x + 24 = 2(x + 12)
l = 8 − x

K = 2(p + l)
2(x + 12) = 2(p + 8 − x)
x + 12 = p + 8 − x
p = 2x + 4

L = p . l
L = (2x + 4)(8 − x)
L = −2x² + 12x + 32

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
−4x + 12 = 0
⇒ x = 3

p = 2x + 4
p = 2(3) + 4
p = 10

Jadi, panjang taman agar luas maksimum adalah 10 m.

Jawaban : C


15.  
Dua bilangan m dan n memenuhi hubungan 2m − n = 40. Nilai minimum dari p=m2+n2p=m2+n2 adalah...
A.  320
B.  295
C.  280
D.  260
E.  200

Pembahasan :
2m − n = 40
n = 2m − 40

p = m² + n²
p = m² + (2m − 40)²
p = m² + 4m² − 160m + 1600
p = 5m² − 160m + 1600

p akan minimum jika :
p' = 0
10m − 160 = 0
⇒ m = 16

n = 2m − 40
n = 2(16) − 40
⇒ n = −8

p = m² + n²
p = 16² + (−8)²
p = 320

Jawaban : A


16.  
Icha akan meniup balon karet  berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm²/detik. Jika laju pertambahan jari-jari bola 20 cm/detik, jari-jari bola setelah ditiup adalah...
A.  1√π1π cm
B.  1√2π12π cm
C.  12√π12π cm
D.  23√π23π cm
E.  ππ cm

Pembahasan :
Laju pertambahan volume udara :
dVdtdVdt = 40

Laju pertambahan jari-jari bola :
drdtdrdt = 20

Volume bola :
V = 4343πr³
dVdrdVdr = 4πr²

Dengan aturan rantai :
dVdtdVdt = dVdrdVdr × drdtdrdt
40 = 4πr² × 20
1 = 2πr²

r² = 12π12π
r = √12π12π
r = 1√2π12π

Jawaban : B

17.  

Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?
A.  80.000 m²
B.  40.000 m²
C.  20.000 m²
D.  5.000 m²
E.  2.000 m²

Pembahasan :
Misalkan panjang area tanah p dan lebar l
Area tanah yang akan dibatasi pagar adalah (p + 2l)

Perhatikan bentuk pagar, karena kawat yang digunakan 4 baris maka
4(p + 2l) = 800
p + 2l = 200
p = 200 − 2l

L = p × l
L = (200 − 2l) × l
L = 200l − 2l²

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
200 − 4l = 0
⇒ l = 50

p = 200 − 2l
p = 200 − 2(50)
⇒ p = 100

L = p × l
L = 100 × 50
L = 5000

Jadi luas maksimum adalah 5000 m²

Jawaban : D


18. 
Seorang petani mempunyai kawat sepanjang 80 meter yang direncanakan untuk memagari kandang berbentuk tiga buah persegi panjang berdempet yang identik seperti diperlihatkan pada gambar berikut (Sisi di sepanjang gudang tidak memerlukan kawat). Luas maksimum kandang adalah ...
A.  360 m²
B.  400 m²
C.  420 m²
D.  450 m²
E.  480 m²

Pembahasan :
Misalkan panjang kandang p dan lebar kandang l.

Persamaan panjang kawat yang digunakan untuk memagari kandang :
p + 4l = 80   →  p = 80 - 4l

Persamaan luas kandang :
L = pl    
L = (80 - 4l)l   
L = 80l - 4l²

Turunan pertama L terhadap l :
L' = 80 - 8l

Luas akan maksimum jika L' = 0
80 - 8l = 0
80 = 8l
l = 10

Jadi, luas akan maksimum jika l = 10, dengan luas maksimumnya adalah
L = 80(10) - 4(10)²
L = 800 - 400
L = 400

Jawaban : B


19. 
Sebuah tabung tanpa tutup yang terbuat dari lempengan tipis dapat memuat air sebanyak 27π cm². Luas permukaan tabung akan minimum jika jari-jari tabung sama dengan ...
A.  9 cm
B.  8 cm
C.  6 cm
D.  4 cm
E.  3 cm

Pembahasan :
Persamaan volume tabung :
V = πr² t
27π = πr² t
27 = r² t
t = 27r227r2

Persamaan luas tabung tanpa tutup :

L = πr² + 2πrt

L = πr² + 2πr(27r227r2)
L = πr² + 54πr54πr

Turunan pertama L terhadap r :
L' = 2πr - 54πr254πr2 

Luas akan minimum jika L' = 0
2πr - 54πr254πr2 = 0  (kali r²)
2πr³ - 54π = 0
2πr³ = 54π
r³ = 27
⇒  r = 3

Jawaban : E


20. 
Sebuah akuarium tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya 2 : 3. Jika luas permukaan akuarium adalah 1.800 cm², volume maksimum akuarium tersebut adalah ...
A.  3.600 cm³
B.  5.400 cm³
C.  6.300 cm³
D.  7.200 cm³
E.  8.100 cm³

Pembahasan :
plpl = 2323→   p = 2323l

Persamaan luas akuarium tanpa tutup :
pl + 2pt + 2lt = 1.800
(2323l)l + 2(2323l)t + 2lt = 1.800  (kali 3)
2l² + 4lt + 6lt = 5400
2l² + 10lt = 5400
10lt = 5400 - 2l²
t = 540l540l - 1515l

Persamaan volume akuarium :
V = plt
V = 2323l . l . (540l540l - 1515l)
V = 360l - 215215l³

Turunan pertama V terhadap l :
V' = 360 - 615615l²

Volume akan maksimum jika V' = 0
360 - 615615l² = 0
360 = 615615l²
l² = 900
l = 30

Jadi, volume maksimum aquarium adalah
V = 360(30) - 215215(30)³
V = 10.800 - 3.600
V = 7.200

Jawaban : D

Soal Lingkaran
1. Rumus luas dan keliling lingkaran adalah ....
a. L = Л x r dan K = 2 x Л x r
b. L = Л x r x r dan K = 2 x Л
c. L = Л x r² dan K = 2 x Л x r
d. L = Л x r dan K = Л x d

2. Sebuah jam dinding berbentuk lingkaran memiliki diameter 28 cm. Keliling jam dinding tersebut adalah .... cm.
a. 86 
b. 88
c. 90
d. 92

3. Diketahui keliling lingkaran adalah 154 cm. Jari-jari lingkaran tersebut adalah .... cm
a. 24
b. 24,5
c. 25
d. 25,5

4. Sebuah kertas berbentuk lingkaran dengan luas 616 cm². Diameternya adalah .... cm
a. 196
b. 198
c. 206
d. 212

5. Tina memiliki hulahop dengan keliling 210 cm. Jari-jari hulahop Tina adalah .... cm
a. 28
b. 30
c. 32
d. 35

6. Luas sebuah lingkaran adalah 2.464 cm². Keliling lingkaran tersebut adalah .... cm
a. 168
b. 174
c. 176
d. 182

7.

Luas dan keliling bangun di atas adalah ....
a. Luas bangun = 481,15 cm² , kelilingnya = 85 cm
b. Luas bangun = 481,25 cm² , kelilingnya = 90 cm
c. Luas bangun = 481,50 cm² , kelilingnya = 92 cm
d. Luas bangun = 481,75 cm² , kelilingnya = 95 cm

8. Sebuah taman berbentuk lingkaran, kelilingnya adalah 3.850 m. Diameter taman tersebut adalah .... m.
a. 1.200
b. 1.220
c. 1.225
d. 1.230

9.

Keliling bangun di atas adalah .... cm
a. 70,5
b. 80
c. 80,5
d. 81

10. Luas bangun pada gambar soal nomor 9 adalah .... cm²
a. 259,815
b. 259,875
c. 259,915
d. 259,925

11. Ibu membuat taplak meja berbentuk lingkaran berdiameter 1,4 m. Setelah jadi, ibu mengukur keliling taplak meja tersebut dan ternyata panjangnya adalah .... meter.
a. 3,5
b. 3,75
c. 4
d. 4,15

12. Sebuah lapangan berbentuk lingkaran berdiameter 60 m. Andi berlari mengelilingi lapangan tersebut 3 kali. Maka jarak yang ditempuh Andi adalah .... meter.
a. 562,5
b. 565,2
c. 565,5
d. 565,8

13. Sebuah sepeda motor mempunyai roda dengan jari-jari 35 cm berputar sebanyak 5000 kali. Jarak yang di tempuh oleh sepeda motor tersebut adalah .... km
a. 11
b. 12,5
c. 14
d. 15
14.

Keliling bangun di atas adalah .... cm
a. 36
b. 38
c. 40
d. 42
15. Luas bangun pada gambar soal nomor 14 adalah .... cm²
a. 55
b. 56,5
c. 57,5
d. 57,75

16. Jika sebuah lingkaran memiliki diamater sepanjang 50 cm, maka keliling dari lingkaran tersebut adalah .... cm.
a. 157
b. 160
b. 162
d. 168

17. Sebuah roda sepeda memiliki jari-jari 35 cm. Ketika sepeda dikayuh, roda tersebut berputar sebanyak 30 kali. Jarak yang ditempuh oleh sepeda tersebut adalah .... m.
a. 60
b. 65
c. 66
d. 70

18. Sebuah meja berbentuk lingkaran memiliki keliling 132 cm. Luas meja tersebut adalah .... cm²
a. 1.386
b. 1.396
c. 1.416
d. 1.426

19. Sebuah taman berbentuk lingkaran dengan diameter 56 meter akan ditanami rumput. Harga rumput adalah RP 7.500,00/m². Biaya yang harus dikeluarkan untuk membeli rumput adalah ....
a. Rp 17.580.000,00
b. Rp 18.350.000,00
c. Rp 18.480.000,00
d. Rp 18.560.000,00

20. Sebuah kolam renang berbentuk lingkaran memiliki diameter 40 meter. Kolam tersebut dikelilingi jalan setapak selebar 1 meter. Luas jalan setapak itu adalah .... m²
a. 128
b. 130
c. 135
d. 140

II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang tepat !

1. Ibu membeli karpet berbentuk lingkaran yang memiliki diameter 3 meter. Berapa luas karpet yang dibeli ibu?
Jawab : ............................................................................................................................
..........................................................................

2. Sebuah lantai berbentuk lingkaran memiliki luas 12.474 m². Hitunglah diameter lantai tersebut !
Jawab : ............................................................................................................................
..........................................................................

3. Kakak membuat alas gelas berbentuk lingkaran berdiameter 10 cm. Alas gelas dibuat dari kain flanel. Jika kakak membuat 1 lusin alas gelas. Hitunglah keseluruhan luas alas gelas tersebut!
Jawab : ............................................................................................................................
..........................................................................

4. Perhatikan gambar di bawah ini !

Tentukan keliling bangun di atas !
Jawab : ............................................................................................................................
..........................................................................

5. Hitunglah luas bangun pada gambar soal nomor 4!
Jawab : ............................................................................................................................
..........................................................................

6. Taman belakang rumah bibi berbentuk lingkaran dengan dimeter 8 m. Berapa keliling dan luasnya?
Jawab : ............................................................................................................................
..........................................................................

7. Di belakang rumah Pak Amat ada kolam ikan berbentuk setengah lingkaran. Kolam ikan tersebut memiliki jari-jari 3 meter. Berapa keliling dan luas kolam ikan Pak Amat?
Jawab : ............................................................................................................................
..........................................................................

8. Adik memiliki mainan spin wheel. Setelah diukur, kelilingnya 132 cm. Berapa luas spin wheel milik adik?
Jawab : ............................................................................................................................
..........................................................................

Kunci Jawaban Room I

Pembahasan soal nomor 1

Rumus luas lingkaran adalah Л x r² dan rumus keliling lingkaran adalah 2 x Л x r atau Л x d.
Jawaban : c

Pembahasan soal nomor 2
Diketahui diameter = 28 cm
Ditanyakan keliling?
K = Л x d
K = 22/7 x 28 = 88 cm
Jawaban : b

Pembahasan soal nomor 3
Diketahui keliling = 154 cm
Ditanyakan jari-jari?
K = Л x d atau Л x 2 x r
2r = K : Л 
2 r = 154 : 22/7 = 154 x 7/22
2 r = 49
r = 49 : 2 = 24,5 cm
Jawaban : b
Pembahasan soal nomor 4
Diketahui luas = 616 cm²
Ditanyakan diameter?
d = K : Л
d = 616 : 22/7 = 616 x 7/22
d = 196 cm
Jawaban : a

Pembahasan soal nomor 5
Diketahui keliling = 210 cm
Ditanyakan jari-jari?
K = Л x 2 x r
2r = K : Л
2r = 220 : 22/7 = 220 x 7/22 = 70
r = 70 : 2 = 35 cm
Jawaban : d

Pembahasan soal nomor 6
Diketahui luas = 2.464 cm²
Ditanyakan keliling?
Untuk mencari keliling harus dicari diameternya terlebih dahulu.
L = Л x r²
r2 = L : Л
r2 = 2.464 : 22/7 = 2.464 x 7/22
r2 = 784
r = √784 = 28
d = 2 x r = 2 x 28 = 56 cm
K = Л x d
K = 22/7 x 56 = 176 cm
Jadi keliling lingkaran = 176 cm
Jawaban : c

Pembahasan soal nomor 7
Diketahui diameter = 35 cm, r = 17,5 cm
Ditanyakan luas dan keliling?
L = Л x r²
Luas bangun = 1/2 x Л x r²
Luas bangun = 1/2 x 22/7 x 17,5 x 17,5
Luas bangun = 481,25 cm²

K = Л x d
Keliling bangun = garis lengkung + diameter
Keliling bangun = (1/2 x Л x d) + d
Keliling bangun = (1/2 x 22/7 x 35) + 35
Keliling bangun = 90 cm
Jadi, luas bangun = 481,25 cm2 dan kelilingnya = 90 cm
Jawaban : b

Pembahasan soal nomor 8
Diketahui keliling = 3.850 m 
Ditanyakan diameter?
d = K : Л
d = 3.850 : 22/7 = 3.850 x 7/22
d = 1.225 m
Jawaban : b

Pembahasan soal nomor 9
Diketahui diameter = 21 cm
Ditanyakan keliling?
K = Л x d
Keliling bangun = garis lengkung + r + r
Keliling bangun = (3/4 x Л x d) + r + r
Keliling bangun = (3/4 x 22/7 x 21) + 10,5 + 10,5
Keliling bangun = 70,5 cm
Jawaban : a

Pembahasan soal nomor 10
Diketahui diameter = 21 cm, r = 10,5 cm
Ditanyakan luas?
L = Л x r²
Luas bangun = 3/4 x Л x r²
Luas bangun = 3/4 x 22/7 x 10,5²
L = 259,875 cm²
Jawaban : b

Pembahasan soal nomor 11
Diketahui diameter = 1,4 m
Ditanyakan keliling?
K = Л x d
K = 22/7 x 1,4
K = 4,4 m
Jawaban : c

Pembahasan soal nomor 12
Diketahui diameter = 60 m
Ditanyakan keliling dan jarak tempuh?
K = Л x d
K = 3,14 x 60 = 188,4 m
Jarak tempuh = Keliling lingkaran x banyaknya putaran
Jarak tempuh = 188,4 m x 3 = 565,2 m
Jadi, jarak yang ditempuh Andi adalah 562,2 meter.
Jawaban : b

Pembahasan soal nomor 13
Diketahui jari-jari = 35 cm, d = 70 cm
Ditanyakan keliling dan jarak tempuh?
K = Л x d
K = 22/7 x 70 = 220 cm
Jarak tempuh = Keliling lingkaran x banyaknya putaran
Jarak tempuh = 220 cm x 5.000 = 1.100.000 cm = 11 km.
Jadi, jarak yang ditempuh oleh sepeda motor adalah 11 km.
Jawaban : a

Pembahasan soal nomor 14
Diketahui r 1/2 lingkaran besar = 7 cm, d = 14 cm
Diameter 1/2 lingkaran kecil = 7 cm
Ditanyakan keliling?
K = Л x d
K 1/2 lingkaran besar = 1/2 x Л x d 
K 1/2 lingkaran besar = 1/2 x 22/7 x 14
K 1/2 lingkaran besar = 22 cm

K 1/2 lingkaran kecil = 1/2 x Л x d 
K 1/2 lingkaran kecil = 1/2 x 22/7 x 7
K 1/2 lingkaran kecil = 11 cm

1/2 keliling lingkaran adalah garis lengkung
Keliling bangun = 1/2 K. lingkaran besar + r + 1/2 K. lingkaran kecil
Keliling bangun = 22 cm + 7 cm + 11 cm = 40 cm
Jawaban : c

Pembahasan soal nomor 15
Diketahui r lingkaran besar = 7 cm
r lingkaran kecil = 3,5 cm
Ditanyakan luas bangun?
L = Л x r²
L 1/2 lingkaran besar = 1/2 x Л x r²
L 1/2 lingkaran besar = 1/2 x 22/7 x 7²
L 1/2 lingkaran besar = 77 cm²

L 1/2 lingkaran kecil= 1/2 x Л x r²
L 1/2 lingkaran kecil = 1/2 x 22/7 x 3,5²
L 1/2 lingkaran kecil = 19,25 cm²

Luas bangun = L.lingkaran besar – L.lingkaran kecil
Luas bangun = 77 cm² - 19,25 cm²
Luas bangun = 57,75 cm²
Jawaban : d

Pembahasan soal nomor 16
Diketahui diameter = 50 cm
Ditanya keliling?
K = Л x d
K = 3,14 x 50
K = 157 cm
Jawaban : a

Pembahasan soal nomor 17
Diketahui jari-jari = 35 cm, d = 70 cm
Ditanyakan keliling dan jarak tempuh?
K = Л x d
K = 22/7 x 70 = 220 cm
Jarak tempuh = Keliling lingkaran x banyaknya putaran
Jarak tempuh = 220 cm x 30 = 6.600 cm = 66 meter
Jadi, jarak yang ditempuh oleh sepeda adalah 66 meter.
Jawaban : c

Pembahasan soal nomor 18
Diketahui keliling = 132 cm
Ditanyakan luas ?
Untuk mencari luas dicari dulu jari-jari lingkaran.
d = K : Л
d = 132 : 22/7 = 132 x 7/22
d = 42
r = 1/2 d = 21

L = Л x r²
L = 22/7 x 21 x 21 
L = 1.386 cm²
Jawaban : a

Pembahasan soal nomor 19
Diketahui diameter = 56 m, r = 28 m.
Harga rumput = RP 7.500,00/m²
Ditanyakan biaya untuk membeli rumput?

Untuk memgetahui harga rumput, kita harus mengetahui luas lingkaran.
L = Л x r²
L = 22/7 x 28 x 28 
L = 2.464 m²
Harga rumput = 2.464 m2 x RP 7.500,00/m²
Harga rumput = Rp 18.480.000,00
Jawaban : c

Pembahasan soal nomor 20
Diketahui diameter kolam 40 m, r = 20 m
Lebar jalan = 1 m
Diameter kolam + lebar jalan = diameter lingkaran besar
Diameter lingkaran besar = 40 m + (2 x 1 m) = 42 m, r = 21 m
Ditanyakan luas jalan?
(L kolam + L jalan) = luas lingkaran besar

L lingkaran besar = Л x r²
L lingkaran besar = 22/7 x 21 x 21 = 1.386 m²
L kolam = 3,14 x 20 x 20 = 1.256 m²

Luas jalan = (L kolam + L jalan) – L kolam
Luas jalan = 1.386 m² – 1.256 m² = 130 m²
Jadi luas jalan adalah 130 m²
Jawaban : b

Kunci Jawaban Room II

Pembahasan soal nomor 1
Diketahui diameter = 3 m
Ditanyakan luas?
L = Л x r²
L = 3,14 x 3 x 3
L = 28,26 m²
Jadi, karpet yang dibeli ibu luasnya 28,26 m²

Pembahasan soal nomor 2
Diketahui luas = 12.474 cm²
Ditanyakan diameter?
L = Л x r²
2.464 = Л x r²
r² = 12.474: 22/7 = 12.474 x 7/22
r² = 3.969
r = √3.969 = 63
d = 2 x r 
d = 2 x 63 = 126 m
Jadi, diameter lantai tersebut adalah 126 m

Pembahasan soal nomor 3
Diketahui diameter = 10 cm, r = 5 cm
Jumlah alas gelas = 1 lusin = 12 buah
Ditanyakan keseluruhan luas alas gelas?
L = Л x r²
L = 3,14 x 5 x 5 = 78,5 cm²
L keseluruhan alas gelas = 78,5 cm² x 12 = 942 cm²
Jadi, luas keseluruhan alas gelas adalah 942 cm²

Pembahasan soal nomor 4
Diketahui diameter 1/2 lingkaran besar = 14 cm
Diameter 1/2 lingkaran kecil = 7 cm
Ditanyakan keliling?
K = Л x d
K 1/2 lingkaran besar = 1/2 x Л x d 
K 1/2 lingkaran besar = 1/2 x 22/7 x 14
K 1/2 lingkaran besar = 22 cm

K 1/2 lingkaran kecil = 1/2 x Л x d 
K 1/2 lingkaran kecil = 1/2 x 22/7 x 7
K 1/2 lingkaran kecil = 11 cm

1/2 keliling lingkaran adalah garis lengkung
Keliling bangun = 1/2 K. lingkaran besar + (2 x 1/2 K. lingkaran kecil)
Keliling bangun = 22 cm + (2 x 11 cm ) = 44 cm
Jadi, keliling bangun adalah 44 cm

Pembahasan soal nomor 5
Diketahui r lingkaran besar = 7 cm
r lingkaran kecil = 3,5 cm
Ditanyakan luas bangun?
L = Л x r²
L 1/2 lingkaran besar = 1/2 x Л x r²
L 1/2 lingkaran besar = 1/2 x 22/7 x 7 x 7 
L 1/2 lingkaran besar = 77 cm²

L 1/2 lingkaran kecil= 1/2 x Л x r²
L 1/2 lingkaran kecil = 1/2 x 22/7 x 3,5 x 3,5
L 1/2 lingkaran kecil = 19,25 cm²

Luas bangun = L.lingkaran besar – (2 x L.lingkaran kecil)
Luas bangun = 77 cm² - (2 x 19,25 cm²)
Luas bangun = 77 cm² – 38,5 cm²
Luas bangun = 38,5 cm²
Jadi, luas bangun adalah 38,5 cm²

Pembahasan soal nomor 6
Diketahui diameter = 8 cm, r = 4 cm
Ditanyakan keliling dan luas?
K = Л x d 
K = 3,14 x 8 = 25,12 m

L = Л x r²
L = 3,14 x 4 x 4 = 50,24 m²
Jadi, keliling taman bibi 25,12 m dan luas taman bibi 50,24 m²

Pembahasan soal nomor 7
Diketahui jari-jari = 3 m, d = 6 m
Ditanyakan keliling dan luas?
K = Л x d 
Keliling kolam = 1/2 x Л x d + d
Keliling kolam = 1/2 x 3,14 x 6 + 6 = 15,42 m

L = Л x r²
Luas kolam = 1/2 Л x r²
Luas kolam = 1/2 x 3,14 x 3 x 3 = 14,13 m²
Jadi, keliling kolam Pak Amat 15,42 m dan luasnya 14,13 m²

Pembahasan soal nomor 8
Diketahui keliling = 132 cm
Ditanyakan luas?
Untuk mencari luas harus dicari diameternya terlebih dahulu.
d = K : Л
d = 132 : 22/7 = 132 x 7/22
d = 42 cm berarti r = 21 cm

L = Л x r²
L = 22/7 x 21 x 21 = 1.386 cm²
Jadi, luas spin wheel adik adalah 1.386 cm²